РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 831 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические уравнения, Методы алгебры. Преобразования выражений

Решите уравнение

$косинус 7x плюс косинус 3x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 10x = синус 7x плюс синус 3x.$

Решение.

Данное уравнение равносильно следующему:

$2 косинус 5 x косинус 2 x минус 2 синус 5 x косинус 2 x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 10 x равносильно 2 косинус 2 x левая круглая скобка косинус 5 x минус синус 5 x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка косинус в квадрате 5 x минус синус в квадрате 5 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 5 x минус синус 5 x = 0 , косинус 5 x плюс синус 5 x = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 2 x конец совокупности . равносильно совокупность выражений 5 x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 5 x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби =2 x плюс 2 Пи k, 5 x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус 2 x плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус 5 x косинус 2 x минус 2 синус 5 x косинус 2 x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 10 x равносильно$
$равносильно 2 косинус 2 x левая круглая скобка косинус 5 x минус синус 5 x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка косинус в квадрате 5 x минус синус в квадрате 5 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 5 x минус синус 5 x = 0 , косинус 5 x плюс синус 5 x = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 2 x конец совокупности . равносильно совокупность выражений 5 x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 5 x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби =2 x плюс 2 Пи k, 5 x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус 2 x плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус 5 x косинус 2 x минус 2 синус 5 x косинус 2 x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 10 x равносильно$
$равносильно 2 косинус 2 x левая круглая скобка косинус 5 x минус синус 5 x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка косинус в квадрате 5 x минус синус в квадрате 5 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 5 x минус синус 5 x = 0 , косинус 5 x плюс синус 5 x = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 2 x конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 5 x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 5 x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби =2 x плюс 2 Пи k, 5 x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус 2 x плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Окончательно получаем $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 5 конец дроби ,$ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби$ и $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 28 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 7 конец дроби ,$ где $k принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 28 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 7 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Уравнение сведено к совокупности двух тригонометрических уравнений (одно из них элементарное тригонометрическое, а второе имеет вид $косинус f левая круглая скобка x правая круглая скобка = косинус g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ (или $косинус f левая круглая скобка x правая круглая скобка = синус g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ или $синус f левая круглая скобка x правая круглая скобка = синус g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка$  — 2 балла.

Решено элементарное тригонометрическое уравнение — 1 балл.

Решено второе уравнение совокупности — 2 балла.

Аналоги к заданию № 824: 831 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе