Найдите количество пар целых чисел (x, y), удовлетворяющих системе неравенств
Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.
Решение.
Пусть и В силу того, что выпукла вниз, а — линейная, графики функций и могут иметь не более двух общих точек. Координаты обеих точек легко подобрать. Действительно,
На промежутке график лежит ниже графика Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых (так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы).
Заметим, что на отрезке [5; 84] графики функций и лежат выше оси Оx. Поэтому искомое количество целочисленных точек мы получим, если из количества целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком на отрезке [5; 84], вычтем количество целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком на отрезке [5; 84]. При этом мы учтём, что второе неравенство системы строгое, а первое — нет.
Найдём Так как на отрезке [5; 84] лежат целочисленные точки, то
Найдём Имеем:
Искомое количество равно
Ответ:
Критерии проверки:
Найдены координаты точек пересечения графиков — 2 балла (по одному баллу за каждую точку).
Выпуклость вниз графика показательной функции и количество точек пересечения графиков обосновывать не обязательно.
Количество точек посчитано, но результат не представлен в требуемом виде — 2 балла.
При подсчёте неверно учтены граничные точки — снять 1 балл.
и 
В силу того, что 
выпукла вниз, а 
—
график 
Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых 
(так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы). 
целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком 
целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком 
Так как на отрезке [5; 84] лежат 
целочисленные точки, то 
Имеем: 
