Найдите все пары действительных параметров a и b, при каждой из которых система
уравнений
имеет бесконечно много решений.
Если 
то второе уравнение системы принимает вид 
и поэтому решений у системы нет. При всех остальных значениях параметров в каждом из уравнений хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. Следовательно, оба уравнения системы определяют некоторые прямые, и для существования бесконечного количества решений нужно, чтобы эти прямые совпадали. Это возможно при пропорциональности коэффициентов уравнений, то есть при
Отметим также, что невозможен случай, когда коэффициенты при одной из переменных или свободные члены обращаются в ноль в обоих уравнениях 
Рассматривая первое равенство из 
получаем 
отсюда 
Далее подставим это во второе равенство (??):
а) если 
то
отсюда получаем два решения системы:
б) если 
то
отсюда получаем ещё два решения системы:
Ответ: 
* Вообще говоря, это существенное замечание. Например, уравнения 
и 
задают одну и ту же прямую.
Записано условие, при котором система уравнений имеет бесконечно много решений (пропорциональность коэффициентов уравнения или эквивалентное условие) — 1 балл.
Записано условие пропорциональности, но не учтено, что оба коэффициента при одной переменной могут равняться нулю — снять 1 балл.
Предполагается, что уравнения системы должны быть одинаковы — 0 баллов за задачу.
Неэквивалентное преобразование системы (исходной или новой системы уравнений относительно параметров) — не более 1 балла за задачу.
Потеряно хотя бы одно решение — не более 2 баллов за задачу.
Наверх