Решите систему
Рассмотрим неравенство системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
и 
Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки посчитать знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке выражение 
положительно, а 
отрицательно. Таким образом, неравенство принимает вид
откуда 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит область, лежащая выше прямой 
и ниже прямых и Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем квадрат K с вершинами в точках 
и 
(см. рисунок).
Рассмотрим уравнение системы. При 
и 
оно принимает вид
и мы получаем окружность радиуса 13 с центром в точке (5; 12) (точнее её часть, лежащую в первой четверти). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на 
и/ или y на (−y), множество точек, заданное уравнением системы, симметрично относительно обеих осей координат. Отражая полученную дугу относительно обеих осей координат и точки (0 ; 0), получаем искомое множество. Обратите внимание, что оно состоит из четырёх дуг окружностей и начала координат.
Теперь становится видно, что множества имеют ровно две общие точки — то есть система имеет два решения (0; 0) и (−10; 0).
Ответ: (0; 0) и (−10; 0).
Изображено множество точек, удовлетворяющих неравенству системы — 3 балла.
Если при этом стороны квадрата не параллельны осям координат не более 2 баллов за задачу.
Изображено множество точек, удовлетворяющих уравнению системы — 2 балла.
Если при этом потеряно начало координат, то 1 балл вместо 2 баллов.
Неверный ответ вследствие неарифметической ошибки — не более 4 баллов за задачу.
Наверх