Дан треугольник ABC, точка I — центр его вписанной окружности. На лучах BI и CI соответсвенно отмечены такие точки (отличные от I) E и F, что AI = AE = AF. Докажите, что
Решение.
Рассмотрим точку D — середину дуги BC — описанной окружности треугольника ABC. По лемме о трезубце Треугольники DBI и AEI подобны, так как это равнобедренные треугольники с равными углами при основании (углы в точке I равны как вертикальные, потому что точки A, I и D лежат на одной прямой — биссектрисе угла A). Аналогично подобны треугольники DCI и AFI.
Отсюда полу чаем
(первое равенство из первого подобия, второе — из второго). Следовательно, треугольники FIE и CIB также подобны, поскольку углы в точке I в этих треугольниках равны как вертикальные.
Значит а это накрест лежащие углы при прямых и поэтому прямые параллельны.
Треугольники DBI и AEI подобны, так как это равнобедренные треугольники с равными углами при основании (углы в точке I равны как вертикальные, потому что точки A, I и D лежат на одной прямой — биссектрисе угла A). Аналогично подобны треугольники DCI и AFI.
а это накрест лежащие углы при прямых 
и 
поэтому прямые параллельны.