Сечение правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF образовано плоскостью, проходящей через вершину C основания ABCDEF и параллельной медиане BM боковой грани SAB и апофеме SN боковой грани SAF, сторона основания пирамиды равна 2, а расстояние от вершины S до секущей плоскости равно 1. Найдите косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Решение. 
Построим сечение пирамиды. В плоскости SAF через точку M проведем прямую MQ, параллельную SN, Q принадлежит прямой AF MQ — средняя линия треугольника SAN, AF = a, 
где a — сторона основания пирамиды.
Плоскость SQB параллельна плоскости сечения. Через точку C проведем прямую CP, параллельную BQ, точка P принадлежит ребру FE и является точкой пересечения этого ребра с плоскостью сечения.
Точка Y — точка пересечения BQ и AD, треугольники YAQ и YOB подобны,
Точка U — точка пересечения CP и A = D, YU = a, 
треугольники COU и CFP подобны,
В плоскости SNR (SR — апофема грани 
через точку G (G — точка пересечения CP и NR) проведем прямую GH, параллельную SN, 
Тогда 
Точка T — точка пересечения CP и BE, треугольники OTU и OBY подобны, 
Треугольники GOT и GRC подобны,
Тогда 
Точка K — точка пересечения CH и SD. Поскольку SR — медиана SCD,
то CK также медиана.
Обозначим расстояние от точки S до плоскости сечения d, d = 1. Расстояние от точки D до сечения равно d. В треугольнике DCJ1 проведем высоту DV, обозначим ее длину h. Тогда 
и 
Найдем CJ1 по теореме косинусов:
откуда 
Используя различные формулы для нахождения площади треугольника DCJ1, имеем
то есть 
Тогда
Ответ: 
Критерии проверки:| Критерии | Баллы |
|---|
| Не выполнен ни один пункт, приведенный ниже, и/или просто записан верный ответ | 0 |
| Верно построено сечение с полным описанием построения | 5 |
| Найдены необходимые для решения задачи отношения, в которых плоскость сечения делит ребра пирамиды. Установлена связь расстояния от вершины пирамиды до плоскости сечения с углом между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды | 10 |
| При верных рассуждениях допущена одна вычислительная ошибка | 15 |
| Приведено полностью обоснованное решение, получены верные ответы | 20 |
Ответ: 
