РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 10186 Добавить в вариант

Вершины ломаной ABCDEFG имеют координаты A(−1; −7), B(2; 5), C(3; −8), D(−3; 4), E(5; −1), F(−4; −2), G(6; 4). Найдите сумму углов с вершинами в точках B, E, C, F, D.

Спрятать решение

Решение.

Замкнутая ломаная BCDEFB образует пятиконечную «звезду». Сумма углов в лучах этой звезды равна 180°. Докажем, что сумма углов в лучах любой пятиконечной звезды BCDEFB равна 180°. Пусть O  — точка пересечения прямых BF и ED, угол между ними ∠BOD  =  α. Обозначим угол в луче той же буквой, что и вершину луча:

$\angle E плюс \angle F=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа =\angle O B D плюс \angle O D B.$

Имеем:

$180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =\angle C плюс \angle C B D плюс \angle C D B=\angle C плюс левая круглая скобка \angle B плюс \angle O B D правая круглая скобка плюс левая круглая скобка \angle D плюс \angle O D B правая круглая скобка =$
$=\angle C плюс \angle B плюс \angle D плюс левая круглая скобка \angle O B D плюс \angle O D B правая круглая скобка =\angle C плюс \angle B плюс \angle D плюс \angle E плюс \angle F.$ $180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =\angle C плюс \angle C B D плюс \angle C D B=$
$=\angle C плюс левая круглая скобка \angle B плюс \angle O B D правая круглая скобка плюс левая круглая скобка \angle D плюс \angle O D B правая круглая скобка =$
$=\angle C плюс \angle B плюс \angle D плюс левая круглая скобка \angle O B D плюс \angle O D B правая круглая скобка =\angle C плюс \angle B плюс \angle D плюс \angle E плюс \angle F.$ $180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =\angle C плюс \angle C B D плюс \angle C D B=$
$=\angle C плюс левая круглая скобка \angle B плюс \angle O B D правая круглая скобка плюс левая круглая скобка \angle D плюс \angle O D B правая круглая скобка =$
$=\angle C плюс \angle B плюс \angle D плюс левая круглая скобка \angle O B D плюс \angle O D B правая круглая скобка =$
$=\angle C плюс \angle B плюс \angle D плюс \angle E плюс \angle F.$

Другое доказательство. Пусть луч $\bara$ совпадает с лучом BC. Повернем луч $\bara$ до совмещения с лучом BF. Луч $\bara$ повернется на угол $\angle B.$ Затем повернем луч $\bara$ (в новом положении) до совмещения с лучом EF. Луч $\bara$ повернется еще на угол ∠F а с начала движения  — на угол $\angle B плюс \angle F.$ Затем снова повернем луч $\bara,$ теперь до совмещения с лучом ED. Луч $\bara$ повернется еще на угол $\angle D,$ а с начала движения  — на угол $\angle B плюс \angle F плюс \angle E.$ Выполнив еще два аналогичных поворота, получим, что луч $\bara$ совпадет с лучом CB, т. е. повернется с начала движения на 180° и, в то же время, на сумму углов $\angle B плюс \angle F плюс \angle E плюс \angle D плюс \angle C.$ Точка пересечения отрезков AB и FG  — это точка K(1; 1).

Докажем это. Пусть L(1; −2), M(6; −2). Тогда треугольники KFL и GFM, так как их катеты пропорциональны. Следовательно, ∠KFL  =  ∠GFM, поэтому $K принадлежит F G.$ Аналогично, $K принадлежит A B.$

Другой способ. Уравнение прямой AB: $y=4 x минус 3.$ Уравнение прямой FG: $y= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби x плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби .$ Решая систему из этих двух уравнений, получим координаты точки пересечения этих прямых: (1; 1).

Найдем длины сторон треугольника BKG:

$BK = корень из: начало аргумента: 1 в квадрате плюс 4 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента ,$ $BG = корень из: начало аргумента: 4 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента ,$ $GK = корень из: начало аргумента: 5 в квадрате плюс 3 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 34 конец аргумента .$

Треугольник BKG равнобедренный и по обратной теореме Пифагора  — прямоугольный. Следовательно, угол ∠BKG  =  45°. Он внешний угол для треугольника FKB и ∠KFB + ∠KBF  =  45°. Так как ∠ABC  =  ∠FBC − ∠FBA, ∠EFG  =  ∠EFB − ∠GFB, то искомая сумма углов

$\angle A B C плюс \angle E F G плюс \angle B C D плюс \angle C D E плюс \angle D E F=$
$=\angle F B C плюс \angle E F B минус левая круглая скобка \angle F B A плюс \angle G F B правая круглая скобка плюс \angle B C D плюс \angle C D E плюс \angle D E F= =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =135 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $\angle A B C плюс \angle E F G плюс \angle B C D плюс \angle C D E плюс \angle D E F=$
$=\angle F B C плюс \angle E F B минус левая круглая скобка \angle F B A плюс \angle G F B правая круглая скобка плюс \angle B C D плюс \angle C D E плюс \angle D E F=$
$= =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =135 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: 135°.

Замечание. Можно получить похожее решение, исходя из факта, что сумма углов в лучах любой семиконечной «звезды» тоже равна 180° (доказательство по сути не отличается от второго доказательства для пятиконечной). Так как угол ∠BKG  =  45°, то сумма двух углов семиконечной звезды с вершинами в точках A и G равна 45°.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Полное решение	15 баллов
Координаты точки K найдены из чертежа или угаданы	Минус 2 балла
Факт, что ∠BKG  =  45°, найден из чертежа или угадан	Минус 3 балла
Задача не решена, но показано, что сумма всех углов в лучах пяти- или семиконечной звезды равна 180	8 баллов

Аналоги к заданию № 10186: 10344 Все

Инженерная олимпиада Звезда, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год

Классификатор: Методы геометрии. Теорема Пифагора, Олимпиадная геометрия. Ориентированные углы, Олимпиадная геометрия. Движения плоскости и пространства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь