Вершины ломаной ABCDEFG имеют координаты A(0; −5), B(3; 7), C(4; −6), D(−2; 6), E(6; 1), F(−3; 0), G(7; 6). Найдите сумму углов с вершинами в точках B, E, C, F, D.
Замкнутая ломаная BCDEFB образует пятиконечную «звезду». Сумма углов в лучах этой звезды равна 180°. Докажем, что сумма углов в лучах любой пятиконечной звезды BCDEFB равна 180°. Пусть O — точка пересечения прямых BF и ED, угол между ними ∠BOD = α. Обозначим угол в луче той же буквой, что и вершину луча:
Имеем:
Другое доказательство. Пусть луч 
совпадает с лучом BC. Повернем луч до совмещения с лучом BF. Луч повернется на угол 
Затем повернем луч (в новом положении) до совмещения с лучом EF. Луч повернется еще на угол ∠F а с начала движения — на угол 
Затем снова повернем луч 
теперь до совмещения с лучом ED. Луч повернется еще на угол 
а с начала движения — на угол 
Выполнив еще два аналогичных поворота, получим, что луч совпадет с лучом CB, т. е. повернется с начала движения на 180° и, в то же время, на сумму углов 
Точка пересечения отрезков AB и FG — это точка K(2; 3).
Докажем это. Пусть L(2; 0), M(7; 0). Тогда треугольники KFL и GFM, так как их катеты пропорциональны. Следовательно, ∠KFL = ∠GFM, поэтому 
Аналогично, 
Другой способ. Уравнение прямой AB: 
Уравнение прямой FG: 
Решая систему из этих двух уравнений, получим координаты точки пересечения этих прямых: (2; 3).
Найдем длины сторон треугольника BKG:
Треугольник BKG равнобедренный и по обратной теореме Пифагора — прямоугольный. Следовательно, угол ∠BKG = 45°. Он внешний угол для треугольника FKB и ∠KFB + ∠KBF = 45°. Так как ∠ABC = ∠FBC − ∠FBA, ∠EFG = ∠EFB − ∠GFB, то искомая сумма углов
Ответ: 135°.
Замечание. Можно получить похожее решение, исходя из факта, что сумма углов в лучах любой семиконечной «звезды» тоже равна 180° (доказательство по сути не отличается от второго доказательства для пятиконечной). Так как угол ∠BKG = 45°, то сумма двух углов семиконечной звезды с вершинами в точках A и G равна 45°.