сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Вер­ши­ны ло­ма­ной ABCDEFG имеют ко­ор­ди­на­ты A(0; −5), B(3; 7), C(4; −6), D(−2; 6), E(6; 1), F(−3; 0), G(7; 6). Най­ди­те сумму углов с вер­ши­на­ми в точ­ках B, E, C, F, D.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­мкну­тая ло­ма­ная BCDEFB об­ра­зу­ет пя­ти­ко­неч­ную «звез­ду». Сумма углов в лучах этой звез­ды равна 180°. До­ка­жем, что сумма углов в лучах любой пя­ти­ко­неч­ной звез­ды BCDEFB равна 180°. Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых BF и ED, угол между ними ∠BOD  =  α. Обо­зна­чим угол в луче той же бук­вой, что и вер­ши­ну луча:

 \angle E плюс \angle F=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус альфа =\angle O B D плюс \angle O D B.

Имеем:

180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle C плюс \angle C B D плюс \angle C D B=\angle C плюс левая круг­лая скоб­ка \angle B плюс \angle O B D пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка \angle D плюс \angle O D B пра­вая круг­лая скоб­ка =
=\angle C плюс \angle B плюс \angle D плюс левая круг­лая скоб­ка \angle O B D плюс \angle O D B пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle C плюс \angle B плюс \angle D плюс \angle E плюс \angle F.

Дру­гое до­ка­за­тель­ство. Пусть луч \bara сов­па­да­ет с лучом BC. По­вер­нем луч \bara до сов­ме­ще­ния с лучом BF. Луч \bara по­вер­нет­ся на угол \angle B. Затем по­вер­нем луч \bara (в новом по­ло­же­нии) до сов­ме­ще­ния с лучом EF. Луч \bara по­вер­нет­ся еще на угол ∠F а с на­ча­ла дви­же­ния  — на угол \angle B плюс \angle F. Затем снова по­вер­нем луч \bara, те­перь до сов­ме­ще­ния с лучом ED. Луч \bara по­вер­нет­ся еще на угол \angle D, а с на­ча­ла дви­же­ния  — на угол \angle B плюс \angle F плюс \angle E. Вы­пол­нив еще два ана­ло­гич­ных по­во­ро­та, по­лу­чим, что луч \bara сов­па­дет с лучом CB, т. е. по­вер­нет­ся с на­ча­ла дви­же­ния на 180° и, в то же время, на сумму углов \angle B плюс \angle F плюс \angle E плюс \angle D плюс \angle C. Точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AB и FG  — это точка K(2; 3).

До­ка­жем это. Пусть L(2; 0), M(7; 0). Тогда тре­уголь­ни­ки KFL и GFM, так как их ка­те­ты про­пор­ци­о­наль­ны. Сле­до­ва­тель­но, ∠KFL  =  ∠GFM, по­это­му K при­над­ле­жит F G. Ана­ло­гич­но, K при­над­ле­жит A B.

Дру­гой спо­соб. Урав­не­ние пря­мой AB: y=4 x минус 5. Урав­не­ние пря­мой FG: y= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Решая си­сте­му из этих двух урав­не­ний, по­лу­чим ко­ор­ди­на­ты точки пе­ре­се­че­ния этих пря­мых: (2; 3).

Най­дем длины сто­рон тре­уголь­ни­ка BKG:

BK = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 в квад­ра­те плюс 4 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , BG = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , GK = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 в квад­ра­те плюс 3 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 34 конец ар­гу­мен­та .

Тре­уголь­ник BKG рав­но­бед­рен­ный и по об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра  — пря­мо­уголь­ный. Сле­до­ва­тель­но, угол ∠BKG  =  45°. Он внеш­ний угол для тре­уголь­ни­ка FKB и ∠KFB + ∠KBF  =  45°. Так как ∠ABC  =  ∠FBC − ∠FBA, ∠EFG  =  ∠EFB − ∠GFB, то ис­ко­мая сумма углов

 \angle A B C плюс \angle E F G плюс \angle B C D плюс \angle C D E плюс \angle D E F=
=\angle F B C плюс \angle E F B минус левая круг­лая скоб­ка \angle F B A плюс \angle G F B пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \angle B C D плюс \angle C D E плюс \angle D E F= =180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =135 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: 135°.

 

За­ме­ча­ние. Можно по­лу­чить по­хо­жее ре­ше­ние, ис­хо­дя из факта, что сумма углов в лучах любой се­ми­ко­неч­ной «звез­ды» тоже равна 180° (до­ка­за­тель­ство по сути не от­ли­ча­ет­ся от вто­ро­го до­ка­за­тель­ства для пя­ти­ко­неч­ной). Так как угол ∠BKG  =  45°, то сумма двух углов се­ми­ко­неч­ной звез­ды с вер­ши­на­ми в точ­ках A и G равна 45°.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Пол­ное ре­ше­ние 15 бал­лов
Ко­ор­ди­на­ты точки K най­де­ны из чер­те­жа или уга­да­ныМинус 2 балла
Факт, что ∠BKG  =  45°, най­ден из чер­те­жа или уга­данМинус 3 балла
За­да­ча не ре­ше­на, но по­ка­за­но, что сумма всех углов в лучах пяти- или се­ми­ко­неч­ной звез­ды равна 1808 бал­лов

Аналоги к заданию № 10186: 10344 Все