РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1145 Добавить в вариант

Дана равнобокая трапеция ABCD (AD и BC  — параллельны, $AD больше BC правая круглая скобка .$ Окружность $\Omega$ вписана в угол BAD, касается отрезка BC в точке C и повторно пересекает CD в точке E, так что $CE= 16,$ $ED = 9.$ Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь трапеции ABCD.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим точки касания окружности со сторонами AB и AD трапеции через K и W соответственно. По теореме о касательной и секущей

$D W в квадрате =D E умножить на D C=9 умножить на 25 равносильно D W=15 .$

Так как C и W  — точки касания окружности с параллельными прямыми BC и AD, отрезок CW есть диаметр окружности, перпендикулярный этим прямым. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника CDW находим, что

$C W= корень из: начало аргумента: 25 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 15 в квадрате правая круглая скобка =20 .$

Следовательно, радиус R окружности равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби C W=10 .$

Пусть $B C=x .$ Тогда $B K=x$ (касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны), а в силу того, что трапеция равнобедренная,

$A K=A B минус B K=25 минус x .$

Значит, $A W=A K=25 минус x .$ Отсюда получаем, что сумма оснований есть

$B C плюс A D=x плюс левая круглая скобка 40 минус x правая круглая скобка =40,$

и площадь трапеции равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 20 умножить на 40=400.$

Ответ: $r=10,$ $S_ABCD=400.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Найден радиус окружности — 2 балла.

Найдена площадь трапеции — 2 балла.

Аналоги к заданию № 1138: 1145 Все

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь