На каждой из прямых y = 3 и y = 4 отмечено по 73 точки с абсциссами 1, 2, 3, ..., 73. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 146 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
1) Гипотенуза треугольника лежит на одной из прямых, а вершина прямого угла — на второй прямой. Пусть ABC — данный треугольник с прямым углом при вершине C, CH — его высота, опущенная на гипотенузу. Из пропорциональности отрезков прямоугольного треугольника получаем, что то есть Поскольку и BH — целые числа,
Гипотенузу AB, равную 2, можно расположить способами (по способов расположения на каждой из двух данных прямых), при этом положение вершины C определяется однозначно.
2) Один из катетов треугольника (назовём его BC) перпендикулярен данным прямым, а второй катет (AC) лежит на одной из данных прямых. Тогда положение катета BC можно выбрать 73 способами. Для каждого варианта расположения катета BC вершину A можно расположить 144 способами (подходят все точки кроме уже выбранных B и C) — всего выходит
Итого получаем
Ответ: 10 654.