Есть две воз­мож­но­сти.

1)  Ги­по­те­ну­за тре­уголь­ни­ка лежит на одной из пря­мых, а вер­ши­на пря­мо­го угла  — на вто­рой пря­мой. Пусть ABC  — дан­ный тре­уголь­ник с пря­мым углом при вер­ши­не C, CH  — его вы­со­та, опу­щен­ная на ги­по­те­ну­зу. Из про­пор­ци­о­наль­но­сти от­рез­ков пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ем, что то есть По­сколь­ку AH и BH  — целые числа, то

Ги­по­те­ну­зу AB, рав­ную 2, можно рас­по­ло­жить спо­со­ба­ми (по 58−2 спо­со­бов рас­по­ло­же­ния на каж­дой из двух дан­ных пря­мых), при этом по­ло­же­ние вер­ши­ны C опре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но.

2)  Один из ка­те­тов тре­уголь­ни­ка (назовём его BC) пер­пен­ди­ку­ля­рен дан­ным пря­мым, а вто­рой катет (AC) лежит на одной из дан­ных пря­мых. Тогда по­ло­же­ние ка­те­та (BC) можно вы­брать 58 спо­со­ба­ми. Для каж­до­го ва­ри­ан­та рас­по­ло­же­ния ка­те­та вер­ши­ну A можно рас­по­ло­жить 114 спо­со­ба­ми (под­хо­дят все точки кроме уже вы­бран­ных B и C)  — всего вы­хо­дит

Итого по­лу­ча­ем

Ответ: 6724.