Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от шестнадцати последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 636, а сумма расстояний от этих же шестнадцати чисел до числа a2 равна 591. Найдите все возможные значения a.
Обозначим данные последовательные натуральные числя через 
..., 
то сумма расстояний от него до данных шестнадцати чисел не превосходит 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 15 , сумма расстояний до 
и 
не превосходит 15 , сумма расстояний до 
и 
также не превосходит 15 п т. д.). Следовательно, числа a и 
лежат вне отрезка 
Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой 
Аналогично, сумма расстояний от числа до каждого из данных чисел равна 
Получаем систему уравнений
Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля.
1) Оба числа a и лежат справа от отрезка 
Тогда
Дискриминант квадратного уравнения отрицателен, поэтому решений нет. 2) Оба числа a и лежат слева от отрезка Тогда
Так как 
то подходит только случай 
(тогда 
в случае 
оказывается, что 
3) Число a лежит слева, а 
справа от отрезка Тогда
Квадратное уравнение равносильно следующему:
Тогда из первого уравнения системы следует, что 
иррациональное число, что не удовлетворяет условию.
4) Число a лежит справа, а слева от отрезка Очевидно, этот случай не подходит, так как если 
то оба числа a и лежат на отрезке 
но тогда между ними не может поместиться ни одно целое число.
Итак, возможно только, что 
Ответ: 
не разобран — баллы не снимаются.