Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от двадцати семи последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 1926, а сумма расстояний от этих же двадцати семи чисел до числа a2 равна 1932. Найдите все возможные значения a.
Обозначим данные последовательные натуральные числа через 
..., 
то сумма расстояний от него до данных двадцати семи чисел не превосходит 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 26, сумма расстояний до 
и 
не превосходит 26, сумма расстояний до 
и 
также не превосходит 26 и т. д.; расстояние до 
не превосходит половины длины отрезка, т. е. 13). Следовательно, числа a и 
лежат вне отрезка 
Тогда сумма расстояний от числа а до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой
Аналогично, сумма расстояний от числа до каждого из данных чисел равна 
Получаем систему уравнений
Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля.
1) Оба числа a и лежат справа от отрезка 
Тогда
Квадратное уравнение равносильно следующему:
Тогда из первого уравнения системы следует, что k — иррациональное число, что не удовлетворяет условию.
2) Оба числа a и лежат слева от отрезка Тогда
Так как 
то подходит только случай 
(тогда 
в случае 
оказывается, что 
3) Число a лежит слева, а 
справа от отрезка 
Тогда
Квадратное уравнение равносильно следующему:
Тогда из первого уравнения системы следует, что 
иррациональное число, что не удовлетворяет условию.
4) Число a лежит справа, а —
Очевидно, этот случай не подходит, так как если 
то оба числа a и лежат на отрезке [0; 1], но тогда между ними не может поместиться ни одно целое число.
Итак, возможно только, что 
Ответ:
Указано, что числа a и a2 лежат вне отрезка между данными последовательными числами — 1 балл.
Получена формула суммы расстояний от чисел a и a2 до данных последовательных натуральных чисел — 1 балл ИЛИ найдены расстояния от a и a2 до ближайших последовательных чисел — 1 балл. (Этот балл ставится при условии, что выполнен предыдущий пункт.)
Случай 
не разобран — баллы не снимаются.
При наличии отбора:
а) рассмотрен 1 случай расположения чисел a и a2 (оба числа справа от отрезка; оба слева от отрезка; a2 справа от отрезка, a слева от отрезка) — 1 балл;
б) рассмотрены 2 случая расположения чисел a и a2 — 2 балла;
в) рассмотрены 3 случая расположения чисел a и a2 — 4 балла.
При отсутствии отбора:
а) рассмотрен 1 случай расположения чисел a и a2 — 0 баллов;
б) рассмотрены 2 случая расположения чисел a и a2 — 1 балл;
в) рассмотрены 3 случая расположения чисел a и a2 — 2 балла.
Количество слагаемых в формуле суммы расстояний отличается от верного на 1 — снять 2 балла с общей суммы.
Наверх