Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD пересекаются в точке Q. Известно, что треугольники ADP и QAB подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке), а четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность радиуса 4.
а) Найдите AC.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD касаются отрезка AC в точках K и T соответственно, причём 
(точка T лежит между K и A). Найдите угол DAC и площадь четырёхугольника ABCD.
а) Подобие треугольников эквивалентно равенству всех их углов. Так как угол при вершине A у треугольников общий, то есть два варианта: либо 
и 
либо 
и 
Второй случай невозможен, так как 
— внешний угол треугольника CDQ, поэтому он равен сумме 
т. е. 
Тогда остаётся первый случай и 
Но четырёхугольник ABCD вписан в окружность, а значит,
откуда
Следовательно, AC — диаметр окружности, 
б) Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB и BC соответственно в точках M и N, а окружность, вписанная в треугольник ACD, касается его сторон AD и CD соответственно в точках L и G. Заметим, что при дополнительном условии 
По свойству отрезков касательных к окружности
Поэтому треугольник ACD — равнобедренный, а так как 
то 
Площадь треугольника ACD 
Применим теперь для треугольника ABC свойство касательных: 
и 
пусть 
По теореме Пифагора для треугольника ABC получаем
Тогда 
и 
и площадь треугольника ABC равна 
Значит, площадь четырёхугольника ABCD равна 
Ответ: а) 
б) 
