РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1258 Добавить в вариант

Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD пересекаются в точке Q. Известно, что треугольники ADP и QAB подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке), а четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность радиуса 4.

а)  Найдите AC.

б)  Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD касаются отрезка AC в точках K и T соответственно, причём $CK:KT:TA=3:1:4$ (точка T лежит между K и A). Найдите угол DAC и площадь четырёхугольника ABCD.

Решение.

а)  Подобие треугольников эквивалентно равенству всех их углов. Так как угол при вершине A у треугольников общий, то есть два варианта: либо $\angle A B Q=\angle A D P$ и $\angle A Q B=\angle A P D,$ либо $\angle A B Q=\angle A P D$ и $\angle A Q B=\angle A D P .$ Второй случай невозможен, так как $\angle A D P$   — внешний угол треугольника CDQ, поэтому он равен сумме $\angle D C Q плюс \angle D Q C,$ т. е. $\angle A D P больше \angle A Q B.$ Тогда остаётся первый случай и $\angle A B C=\angle A D C .$ Но четырёхугольник ABCD вписан в окружность, а значит,

$\angle A B C плюс \angle A D C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

откуда

$\angle A B C=\angle A D C=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Следовательно, AC  — диаметр окружности, $A C=8 .$

б)  Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB и BC соответственно в точках M и N, а окружность, вписанная в треугольник ACD, касается его сторон AD и CD соответственно в точках L и G. Заметим, что при дополнительном условии $A T=T C .$ По свойству отрезков касательных к окружности

$A L=A T=T C=C G,$

$D G=D L .$

Поэтому треугольник ACD  — равнобедренный, а так как $\angle D=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ то $\angle D A C=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Площадь треугольника ACD равна $0,5 A C умножить на D T=16 .$

Применим теперь для треугольника ABC свойство касательных: $C N=C K=3$ и $A M=A K=5 ;$ пусть $B N=B M=x .$ По теореме Пифагора для треугольника ABC получаем

$64= левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате равносильно x в квадрате плюс 8 x минус 15=0 равносильно x= корень из: начало аргумента: 31 конец аргумента минус 4 .$

Тогда $A B= корень из: начало аргумента: 31 конец аргумента плюс 1$ и $B C= корень из: начало аргумента: 31 конец аргумента минус 1$ и площадь треугольника ABC равна $0,5 A B умножить на B C=15 .$ Значит, площадь четырёхугольника ABCD равна $16 плюс 15=31.$

Ответ: а) $AC = 8;$ б) $\angle DAC = 45 градусов,$ $S_ABCD = 31.$

Аналоги к заданию № 1251: 1258 Все

Решение · Критерии · Помощь