сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ос­но­ва­ние тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD  — пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC. Объём пи­ра­ми­ды равен  дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , а её вы­со­та, про­ведённая из вер­ши­ны D, равна 3. Точка M  — се­ре­ди­на ребра CD. Из­вест­но, что ра­ди­у­сы сфер, впи­сан­ных в пи­ра­ми­ды ABCM и ABDM, равны между собой.

а)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния угла между гра­ня­ми пи­ра­ми­ды при ребре AB.

б)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния длины ребра CD, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что грани BCD и

ABC вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой ра­ди­у­са впи­сан­ной сферы r= дробь: чис­ли­тель: 3 V, зна­ме­на­тель: S конец дроби , где V  — объём, а S  — пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды. Объёмы пи­ра­мид ABCM и ABDM равны (грань ABM общая, а вер­ши­ны C и D рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти A B M); кроме того S_A C M=S_A D M и S_B C M=S_B D M (ме­ди­а­на делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка по­по­лам). Зна­чит, ра­вен­ство сфер, впи­сан­ных в пи­ра­ми­ды ABCM и ABDM, эк­ви­ва­лент­но усло­вию S_A B C=S_A B D или ра­вен­ству высот, про­ведённых к сто­ро­не AB в тре­уголь­ни­ках ABC и A BD.

Пусть H и K  — про­ек­ции точки D на плос­кость ABC и пря­мую AB со­от­вет­ствен­но. Объём пи­ра­ми­ды равен  дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , а её вы­со­та равна 3. Зна­чит, пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна  дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Тогда сто­ро­на ос­но­ва­ния A B= дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , а вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC равна 5. Зна­чит, DK также равно 5. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка DHK на­хо­дим

K H= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: D K в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус D H в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =4,

то есть точка H на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 4 от пря­мой AB (H лежит на одной из двух пря­мых, па­рал­лель­ных AB, на рас­сто­я­нии 4 от неё). Тем самым, угол между гра­ня­ми при ребре AB равен  арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  При до­пол­ни­тель­ном усло­вии H лежит на луче CB, при этом  дробь: чис­ли­тель: B H, зна­ме­на­тель: B C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , от­ку­да

C H= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби B C= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби

или
C H= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби B C=6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Из тре­уголь­ни­ка CDH по­лу­ча­ем, что C D= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: C H в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс H D в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка . Сле­до­ва­тель­но, C D= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 31 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби или C D=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: а) \angle = арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ; б) CD= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 31 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби или CD=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Уста­нов­лен кри­те­рий ра­венств впи­сан­ных сфер — ра­вен­ство пло­ща­дей гра­ней ABD и ABC — 4 балла.

За­вер­ше­но ре­ше­ние пунк­та а) — 2 балла. За по­те­рю слу­чая сни­ма­ет­ся 1 балл.

За­вер­ше­но ре­ше­ние пунк­та б) — 3 балла. За по­те­рю слу­чая сни­ма­ет­ся 1 балл.

За­ме­ча­ние. Вер­ный ответ в пунк­те а) по­лу­чен рас­смот­ре­ни­ем част­но­го слу­чая (на­при­мер, зер­каль­но сим­мет­рич­ный тет­ра­эдр) — 1 балл за ВЕСЬ пункт а).


Аналоги к заданию № 1314: 1321 Все