а)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой ра­ди­у­са впи­сан­ной сферы где V  — объём, а S  — пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды. Объёмы пи­ра­мид ABCM и ABDM равны (грань ABM общая, а вер­ши­ны C и D рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти ABM); кроме того и (ме­ди­а­на делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка по­по­лам). Зна­чит, ра­вен­ство сфер, впи­сан­ных в пи­ра­ми­ды ABCM и ABDM, эк­ви­ва­лент­но усло­вию или ра­вен­ству высот, про­ведённых к сто­ро­не AB в тре­уголь­ни­ках ABC и ABD.

Пусть H и K  — про­ек­ции точки D на плос­кость ABC и пря­мую AB со­от­вет­ствен­но. Объём пи­ра­ми­ды равен а её вы­со­та равна 4. Зна­чит, пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна Тогда сто­ро­на ос­но­ва­ния а вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC равна 5. Зна­чит, DK также равно 5. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка DHK на­хо­дим

то есть точка H на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 3 от пря­мой AB (H лежит на одной из двух пря­мых, па­рал­лель­ных AB, на рас­сто­я­нии 3 от неё). Тем самым, угол между гра­ня­ми при ребре AB равен

б)  При до­пол­ни­тель­ном усло­вии H лежит на луче CB, при этом от­ку­да

или

Из тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но, или

Ответ: а) б) или