РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1324 Добавить в вариант

Решите неравенство

$логарифм по основанию 9 4 плюс левая круглая скобка 16 минус логарифм по основанию 3 в квадрате 2 правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 162 правая круглая скобка 3 меньше или равно 64 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 4 в квадрате x правая круглая скобка минус 15 умножить на x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем левую часть неравенства:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 9 правая круглая скобка 4 плюс левая круглая скобка 16 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате 2 правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 162 правая круглая скобка 3= логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 плюс дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 162 конец дроби =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 плюс дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка , знаменатель: 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 конец дроби =4.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 9 правая круглая скобка 4 плюс левая круглая скобка 16 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате 2 правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 162 правая круглая скобка 3=$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 плюс дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 162 конец дроби =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 плюс дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка , знаменатель: 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 конец дроби =4.$

Обозначим $4 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка в квадрате x правая круглая скобка =v.$ Тогда

$x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x правая круглая скобка =v$

и неравенство принимает вид $v в кубе минус 15 v минус 4 больше или равно 0.$

Одним из корней многочлена в левой части является $v=4.$ Выделив множитель $v минус 4,$ получаем

$левая круглая скобка v минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка v в квадрате плюс 4 v плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0,$

откуда $v больше или равно 4$ (так как $v больше 0,$ то второй множитель положителен). Находим x:

$4 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка в квадрате x правая круглая скобка больше или равно 4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка в квадрате x больше или равно 1 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x больше или равно 1, логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x \leqslant минус 1 конец совокупности . равносильно x принадлежит левая круглая скобка 0 ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4 ; плюс бесконечность правая круглая скобка ..$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Получено неравенство относительно $t= логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x$ (или $t= логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 3$ и т. д.) — 2 балла.

То же без упрощения правой/левой части — 1 балл.

Получено решение этого неравенства относительно t — 2 балла.

Совершён возврат к переменной x — 2 балла.

Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за задачу.

Аналоги к заданию № 1324: 1331 Все

Олимпиада: Олимпиада школьников Физтех

Класс: 11

Тур: 2 тур (заключительный)

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Неравенства логарифмические, Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь