сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 21 № 134
i

Пер­вый спортс­мен на­чи­на­ет дви­же­ние из пунк­та A в пункт B, держа в руке эс­та­фет­ную па­лоч­ку. Од­но­вре­мен­но с ним из пунк­та B стар­ту­ет вто­рой спортс­мен и со­вер­ша­ет чел­ноч­ный бег между пунк­та­ми A и B со ско­ро­стью, в 10 раз боль­шей, чем ско­рость пер­во­го спортс­ме­на (т. е., до­бе­жав до А, вто­рой спортс­мен тут же раз­во­ра­чи­ва­ет­ся и бежит в В, от­ту­да снова в А и т. д.). При каж­дой встре­че спортс­мен, вла­де­ю­щий эс­та­фет­ной па­лоч­кой, пе­ре­да­ет её дру­го­му спортс­ме­ну. Найти путь, ко­то­рый будет про­де­лан эс­та­фет­ной па­лоч­кой к тому мо­мен­ту, когда пер­вый спортс­мен ока­жет­ся в пунк­те B, если рас­сто­я­ние между пунк­та­ми A и B равно S.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

На­ри­су­ем гра­фик за­ви­си­мо­сти от вре­ме­ни ко­ор­ди­нат спортс­ме­нов от­но­си­тель­но пунк­та А, затем вы­де­лим те части пря­мых, когда со­от­вет­ству­ю­щий спортс­мен вла­дел эс­та­фет­ной па­лоч­кой. Пря­мую для пер­во­го спортс­ме­на обо­зна­чим как L, участ­ки пря­мых для вто­ро­го спортс­ме­на  — как L_1, \ldots, L_10.

Точки пе­ре­да­чи эс­та­фет­ной па­лоч­ки (они же точки пе­ре­се­че­ния со­от­вет­ству­ю­щих пря­мых) обо­зна­чим как A_1, \ldots, A_10.

Тогда ис­ко­мая ве­ли­чи­на S0 пред­став­ля­ет собой сумму про­ек­ций вы­де­лен­ных фраг­мен­тов на ось ор­ди­нат, а имен­но:

S_0=y левая круг­лая скоб­ка A_1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y левая круг­лая скоб­ка A_1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y левая круг­лая скоб­ка A_2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая квад­рат­ная скоб­ка y левая круг­лая скоб­ка A_3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус y левая круг­лая скоб­ка A_2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс y левая круг­лая скоб­ка A_3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y левая круг­лая скоб­ка A_4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая квад­рат­ная скоб­ка y левая круг­лая скоб­ка A_5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус y левая круг­лая скоб­ка A_4 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс ... плюс y левая круг­лая скоб­ка A_9 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y левая круг­лая скоб­ка A_10 пра­вая круг­лая скоб­ка =
=2 левая квад­рат­ная скоб­ка y левая круг­лая скоб­ка A_1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y левая круг­лая скоб­ка A_3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y левая круг­лая скоб­ка A_5 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y левая круг­лая скоб­ка A_7 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y левая круг­лая скоб­ка A_9 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс S.

Урав­не­ние пря­мой L имеет вид y= дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: T конец дроби x. Урав­не­ние пря­мой L1 имеет вид y= минус дробь: чис­ли­тель: 10S, зна­ме­на­тель: T конец дроби x плюс S (его можно найти, на­при­мер, под­ста­вив в урав­не­ние пря­мой y=kx плюс b ко­ор­ди­на­ты двух край­них точек от­рез­ка и решив си­сте­му от­но­си­тель­но k и b пра­вая круг­лая скоб­ка . Со­ста­вив си­сте­му из урав­не­ний для пря­мых L и L1, най­дем ор­ди­на­ту точки A1:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний y= дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: T конец дроби x, y= минус дробь: чис­ли­тель: 10S, зна­ме­на­тель: T конец дроби x плюс S конец си­сте­мы . \Rightarrow y левая круг­лая скоб­ка A_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби .

Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем y левая круг­лая скоб­ка A_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3S, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби . Не­труд­но уви­деть, что для всех ин­те­ре­су­ю­щих нас точек y левая круг­лая скоб­ка A_2n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка S, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби . По­это­му

S_0=2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 3 плюс 5 плюс 7 плюс 9 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс S= дробь: чис­ли­тель: 61, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби S.

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 61, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби S.


Аналоги к заданию № 134: 139 Все

Источник/автор: Диана Лебедева