РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1367 Добавить в вариант

Известно, что $тангенс левая круглая скобка 2 альфа минус бета правая круглая скобка плюс 6 тангенс 2 альфа плюс тангенс бета =0,$ $тангенс альфа =2.$ Найдите $\ctg бета .$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходное выражение:

$тангенс 2 альфа = дробь: числитель: 2 тангенс альфа , знаменатель: 1 минус тангенс в квадрате альфа конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 1 минус 4 конец дроби = минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$

Тогда данное в условии равенство можно преобразовать так:

$дробь: числитель: тангенс 2 альфа минус тангенс бета , знаменатель: 1 плюс тангенс 2 альфа тангенс бета конец дроби плюс 6 тангенс 2 альфа плюс тангенс бета =0 равносильно дробь: числитель: минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби минус тангенс бета , знаменатель: 1 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби тангенс бета конец дроби минус 8 плюс тангенс бета =0 .$

Приводя к общему знаменателю и упрощая, получаем равносильное на ОДЗ уравнение

$тангенс в квадрате бета минус 8 тангенс бета плюс 7=0,$

откуда $тангенс бета =7$ или $тангенс бета =1 .$ Оба варианта подходят (т. к. знаменатели не обращаются в ноль). Следовательно, $\ctg бета = дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби$ или $\ctg бета =1 .$