сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Точка K лежит на сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка ABC с углом 120° при вер­ши­не C. В тре­уголь­ни­ки AKC и BKC впи­са­ны окруж­но­сти с цен­тра­ми O и Q со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка OQC, если OK=6, KQ=7.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на бис­сек­три­се этого угла, по­это­му лучи KO и KQ яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми углов AKC и BKC. По­сколь­ку угол между бис­сек­три­са­ми смеж­ных углов пря­мой, то \angle O K Q=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , и тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим, что

O Q= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: O K в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс K Q в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 85 конец ар­гу­мен­та .

Так как CO и CQ  — бис­сек­три­сы углов ACK и BCK, то

 \angle O C Q=\angle O C K плюс \angle Q C K= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle A C K плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle B C K= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle B C A=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

По обобщённой тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ADT на­хо­дим, что ис­ко­мый ра­ди­ус равен

 дробь: чис­ли­тель: O Q, зна­ме­на­тель: 2 синус \angle O C Q конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 85, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Ответ:  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 85, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

До­ка­за­но, что от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры окруж­но­стей, виден из ос­но­ва­ния бис­сек­три­сы под пря­мым углом — 1 балл.

Най­ден от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры окруж­но­стей — 1 балл.

Най­ден угол ис­ко­мо­го тре­уголь­ни­ка, ле­жа­щий на­про­тив от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го цен­тры окруж­но­стей


Аналоги к заданию № 1392: 1398 Все