сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Точка P лежит на сто­ро­не BC тре­уголь­ни­ка ABC с углом 60° при вер­ши­не A. В тре­уголь­ни­ки APB и APC впи­са­ны окруж­но­сти с цен­тра­ми D и T со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ADT, если PD=7, PT=4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на бис­сек­три­се этого угла, по­это­му лучи PT и PD яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми углов CPA и BPA. По­сколь­ку угол между бис­сек­три­са­ми смеж­ных углов пря­мой, то \angle D P T=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , и тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим, что

D T= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: P D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс P T в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 65 конец ар­гу­мен­та .

Так как AD и AT  — бис­сек­три­сы углов BAP и CAP, то

 \angle D A T=\angle D A P плюс \angle T A P= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle B A P плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle C A P= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle B A C=30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

По обобщённой тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ADT на­хо­дим, что ис­ко­мый ра­ди­ус равен

 дробь: чис­ли­тель: D T, зна­ме­на­тель: 2 синус \angle D A T конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 65 конец ар­гу­мен­та .

Ответ:  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 65 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

До­ка­за­но, что от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры окруж­но­стей, виден из ос­но­ва­ния бис­сек­три­сы под пря­мым углом — 1 балл.

Най­ден от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры окруж­но­стей — 1 балл.

Най­ден угол ис­ко­мо­го тре­уголь­ни­ка, ле­жа­щий на­про­тив от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го цен­тры окруж­но­стей


Аналоги к заданию № 1392: 1398 Все