РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1419 Добавить в вариант

Найдите все пары положительных чисел (x, y), удовлетворяющих системе уравнений

$система выражений x минус 3 корень из: начало аргумента: xy конец аргумента минус 2 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби конец аргумента плюс 6=0,x в квадрате y в квадрате плюс x в степени 4 =82. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби конец аргумента =u,$ $корень из: начало аргумента: x y конец аргумента =v$ (при этом $\quad u больше 0,$ $v больше 0 правая круглая скобка .$ Тогда

$u v= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: x y конец аргумента = корень из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка =|x|=x,$

$дробь: числитель: v, знаменатель: u конец дроби = корень из: начало аргумента: x y конец аргумента : корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби конец аргумента = корень из: начало аргумента: y в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента правая круглая скобка =|y|=y,$

так как по условию x и y положительны. Система принимает вид

$система выражений u v минус 3 v минус 2 u плюс 6 = 0 , v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс u в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = 8 2 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка v минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка u минус 3 правая круглая скобка =0, v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс u в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =82 . конец системы .$

Из первого уравнения следует, что $v=2$ или $u=3.$ Если $v=2,$ то $16 плюс 16 u в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =82,$ откуда $u= дробь: числитель: корень 4 степени из: начало аргумента: 66 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;$ тогда

$y= дробь: числитель: v, знаменатель: u конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: корень 4 степени из: начало аргумента: 66 конец аргумента конец дроби$

$x=u v= корень 4 степени из: начало аргумента: 66 конец аргумента .$

Если $u=3,$ то $v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 81 v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =82,$ откуда $v=1;$ тогда $y= дробь: числитель: v, знаменатель: u конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ и $x=u v=3.$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка 3, дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , левая круглая скобка корень 4 степени из: начало аргумента: 66 конец аргумента , дробь: числитель: 4, знаменатель: корень 4 степени из: начало аргумента: 66 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Первое уравнение разложено на множители — 2 балла.

За каждый из двух полученных случаев — 2 балла.

Аналоги к заданию № 1413: 1419 Все

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы нелинейный уравнений, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь