Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1. Сфера с диаметром BC пересекает рёбра AC и AB соответственно в точках P и Q, отличных от вершин призмы. Отрезки B1P и C1Q пересекаются в точке T, и при этом 
а) Найдите угол TPA.
б) Найдите отношение AP : CP.
в) Пусть дополнительно известно, что AC = 3. Найдите объём призмы.
а) Точки P и Q лежат на окружности с диаметром BC; значит, 
(т. е. BP и CQ — высоты треугольника ABC). Прямая BP — это проекция прямой TP на плоскость основания, при этом BP перпендикулярна PA. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах TP перпендикулярна PA, т. е. 
б) Поскольку прямые 
и 
пересекаются, то все четыре точки 
и Q лежат в одной плоскости (назовём её α). Значит, прямые PQ и 
лежат в одной плоскости α, а так как они не пересекаются (поскольку лежат в параллельных друг другу основаниях призмы), то PQ параллельна 
Значит, PQ и BC — параллельны. Трапеция PQBC вписана в окружность, следовательно, она равнобокая, тогда углы при её основании BC равны, и поэтому треугольник 
равнобедренный 
Треугольники 
и PQT подобны по двум углам. Из равенства треугольников 
и 
следует, что 
поэтому оба треугольника и PQT равнобедренные с основаниями и 
соответственно. Значит,
откуда
в) Если 
то
Значит, площадь основания призмы равна 
объём призмы равен 
Ответ: а) 90°, б) 2 : 1, б) 