Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1. Сфера с диаметром AC пересекает рёбра AC и AB соответственно в точках F и N, отличных от вершин призмы. Отрезки C1F и A1N пересекаются в точке P, и при этом 
а) Найдите угол PFA.
б) Найдите отношение AF : FB.
в) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите объём призмы.
а) Точки F и N лежат на окружности с диаметром AC; значит, 
(т. е. AN и CF — высоты треугольника ABC). Прямая CF — это проекция прямой 
на плоскость основания, при этом CF перпендикулярна AB. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах и AB — перпендикулярны, т. е. 
б) Поскольку прямые и 
пересекаются, то все четыре точки 
F и N лежат в одной плоскости (назовём её α). Значит, прямые FN и 
лежат в одной плоскости 
а так как они не пересекаются (поскольку лежат в параллельных друг другу основаниях призмы), то FN параллельна 
Значит, FN параллельна AC. Трапеция AFNC вписана в окружность, следовательно, она равнобокая, тогда углы при её основании AC равны, и поэтому треугольник ABC равнобедренный 
Треугольники 
и FNP подобны по двум углам. Из равенства треугольников 
и 
следует, что 
поэтому оба треугольника и FNP равнобедренные с основаниями и 
соответственно. Значит,
откуда
в) Если 
то
Значит, площадь основания призмы равна 
объём призмы равен 
Ответ: а) 90°, б) 5 : 1, 