Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Две окружности 
и 
равных радиусов с центрами O1 и O2 вписаны в углы ABC и ADC соответственно, при этом первая касается стороны BC в точке K, а вторая касается стороны AD в точке T.
а) Найдите радиус окружности 
если BK = 
DT = 
б) Пусть дополнительно известно, что точка O1 является центром окружности, описанной около треугольника BOC. Найдите угол BDC.
а) Отрезки 
и 
являются биссектрисами углов ABC и ADC (центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла). Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, сумма его противоположных углов ABC и ADC равна 180°, поэтому сумма их половин — углов 
и 
—
Тогда
Выражая двумя способами 
получаем:
б) Так 
как радиусы окружности, описанной около треугольника 
поэтому высота 
этого треугольника также является его медианой. Точки O, O1 и K лежат на одной прямой (на серединном перпендикуляре к отрезку BC). Далее находим:
(как радиусы одной окружности). Возможны два случая: точки 
и O могут лежать либо по одну сторону от прямой BC, либо по разные стороны от неё.
В первом случае получаем:
Рассмотрим второй случай. Точка лежит на биссектрисе угла ABC, поэтому
Это означает, что вписанный угол ABC опирается на дугу AC, равную 
Вместе с тем дуга 
равна углу BOC, a
что невозможно, так как в этом случае дуга 
должна быть меньше дуги 
Ответ: а) 
