На стороне BC треугольника ABC взята точка M такая, что MC : BM = 5 : 2. Биссектриса данного треугольника BL и отрезок AM пересекаются в точке P под углом 90°.
а) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырёхугольника LPMC.
б) На отрезке MC отмечена точка F такая, что FC : MF = 4 : 1. Пусть дополнительно известно, что прямые LF и BC перпендикулярны. Найдите угол CBL.
а) В треугольнике 
отрезок BP является биссектрисой и высотой, поэтому треугольник равнобедренный, а BP является также его медианой. Обозначим 
тогда 
По свойству биссектрисы треугольника,
Обозначим площадь треугольника ABC через S. Тогда
По теореме об отношении площадей треугольников получаем
следовательно,
Искомое отношение равно 
б) Так как у треугольников 
и 
общая высота, проведённая из вершины A, то
Пусть 
Пусть 
Тогда из треугольника 
получаем, что 
а из треугольника BFL — что 
Приравнивая эти выражения для косинуса, находим, что 
откуда 
Ответ: а) 9 : 40; 