сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра b, для каж­до­го из ко­то­рых найдётся число a такое, что си­сте­ма

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс 2b левая круг­лая скоб­ка b плюс y минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =4,y= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 1 конец дроби конец си­сте­мы .

имеет хотя бы одно ре­ше­ние (x; y).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пер­вое урав­не­ние си­сте­мы может быть пре­об­ра­зо­ва­но к виду

 левая круг­лая скоб­ка x минус b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =2 в квад­ра­те ,

сле­до­ва­тель­но, оно задаёт окруж­ность ра­ди­у­са 2 с цен­тром  левая круг­лая скоб­ка b ; минус b пра­вая круг­лая скоб­ка .

Рас­смот­рим функ­цию, за­дан­ную вто­рым урав­не­ни­ем при a=0 . В точке x=0 она при­ни­ма­ет мак­си­маль­ное зна­че­ние, равно 9. При уве­ли­че­нии x по мо­ду­лю функ­ция убы­ва­ет и стре­мит­ся к нулю при x arrow бес­ко­неч­ность . Если из­ме­нять a, то гра­фик сдви­га­ет­ся на |a| еди­ниц влево или впра­во. При все­воз­мож­ных a при­над­ле­жит R гра­фи­ки этих функ­ций за­ме­та­ют по­ло­су 0 мень­ше y мень­ше или равно 9.

Для вы­пол­не­ния усло­вия за­да­чи не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы окруж­ность, за­да­ва­е­мая пер­вым урав­не­ни­ем, имела хотя бы одну общую точку с дан­ной по­ло­сой, от­ку­да a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 11; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 11; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

По­стро­е­но мно­же­ство точек, удо­вле­тво­ря­ю­щих пер­во­му урав­не­нию си­сте­мы при фик­си­ро­ван­ном зна­че­нии па­ра­мет­ра (окруж­ность) — 1 балл.

По­стро­е­на по­ло­са между двумя па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми, пред­став­ля­ю­щая собой объ­еди­не­ние си­ну­со­ид, за­да­ва­е­мых вто­рым урав­не­ние при все­воз­мож­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра — 2 балла.

За­да­ча обос­но­ван­но све­де­на к сле­ду­ю­щей: «окруж­ность, за­да­ва­е­мая пер­вым урав­не­ни­ем, имеет хотя бы одну общую точку с этой по­ло­сой» — 3 балла.


Аналоги к заданию № 1508: 1564 Все