РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1573 Добавить в вариант

Решите систему

$система выражений 2x больше или равно y плюс 14,x в степени 4 плюс 2x в квадрате y в квадрате плюс y в степени 4 плюс 144 минус 40x в квадрате минус 40y в квадрате =128xy. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение системы (добавляем к обеим частям $64 x в квадрате плюс 64 y в квадрате правая круглая скобка :$

$левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка в квадрате плюс 144 плюс 24 x в квадрате плюс 24 y в квадрате =64 x в квадрате плюс 64 y в квадрате плюс 128 x y равносильно левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате плюс 12 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 8 x плюс 8 y правая круглая скобка в квадрате равносильно$ $левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка в квадрате плюс 144 плюс 24 x в квадрате плюс 24 y в квадрате =64 x в квадрате плюс 64 y в квадрате плюс 128 x y равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате плюс 12 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 8 x плюс 8 y правая круглая скобка в квадрате равносильно$

$равносильно совокупность выражений x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс y в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс 1 2 = 8 x плюс 8 y, x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс y в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс 1 2 = минус 8 x минус 8 y конец совокупности . равносильно совокупность выражений левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка в квадрате =20, левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка в квадрате =20 . конец совокупности .$

Получаем две окружности радиуса $2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$ с центрами в точках (4; 4) и (−4; −4). Неравенство системы задаёт полуплоскость. Рассмотрим взаимное расположение каждой из окружностей с прямой $y=2 x минус 14,$ являющейся границей этой полуплоскости.

a)   $система выражений левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка в квадрате =20, y=2 x минус 14 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2 x минус 18 правая круглая скобка в квадрате =20, y=2 x минус 14 конец системы . равносильно система выражений 5 x в квадрате минус 80 x плюс 320=0, y=2 x минус 14 конец системы . равносильно левая фигурная скобка \begin{align x=8, y=2 .\endarray....$

б)   $система выражений левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка в квадрате =20, y=2 x минус 14 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2 x минус 10 правая круглая скобка в квадрате =20, y=2 x минус 14 конец системы . равносильно система выражений 5 x в квадрате минус 32 x плюс 96=0, y=2 x минус 14 конец системы . равносильно \varnothing.$

При этом центры рассматриваемых окружностей  — точки (4; 4) и (−4; −4)  — не лежат в полуплоскости, так как их координаты не удовлетворяют неравенству. Поэтому вторая окружность не имеет общих точек с полуплоскостью, а первая имеет единственную общую точку (8; 2).

Ответ: (8; 2).

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Второе уравнение системы разложено на множители — 5 баллов.

За каждый верно разобранный случай — 2 балла.

Аналоги к заданию № 1567: 1573 Все

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2015 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Неравенства рациональные, Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения рациональные, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь