На ребре BB1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 взята точка T такая, что BT : B1T = 2 : 5. Точка T является вершиной прямого кругового конуса такого, что три вершины призмы принадлежат окружности его основания.
а) Найдите отношение высоты призмы к ребру её основания.
б) Пусть дополнительно известно, что CC1 = 7. Найдите объём конуса.
Если три вершины призмы лежат на окружности основания конуса, то это означает, что три вершины призмы равноудалены от точки T, т. е. три из отрезков TA, TB, TC, 
равны между собой. Заметим, что
кроме того 
Из этих неравенств следует, что отрезки 
и самые длинные, а отрезок TB — самый короткий. Значит, равны между собой отрезки TA, TC и 
а) Обозначим 
Тогда 
По теореме Пифагора для треугольника 
находим, что 
Значит, искомое отношение равно
б) Из треугольника 
по теореме Пифагора получаем, что 
Радиус основания конуса - это радиус окружности, описанной около треугольника 
Его стороны: 
и 
Тогда находим его высоту:
окружности:
Образующая конуса — это отрезок AT, т. е. она равна 5x. Тогда высота конуса
Находим объём конуса:
Так как 
окончательно получаем 
Ответ: 