РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1645 Добавить в вариант

Решите неравенство

$дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в степени 4 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x в степени 4 правая круглая скобка плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка в кубе плюс 64 конец дроби меньше или равно 0.$

Спрятать решение

Решение.

Данное неравенство равносильно следующему:

$дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 3 x в квадрате умножить на левая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 x в квадрате плюс 2 логарифм по основанию 3 x в квадрате плюс 2, знаменатель: 64 минус логарифм по основанию 3 в кубе x в квадрате конец дроби меньше или равно 0 .$

После замены $логарифм по основанию 3 x в квадрате =t \quad$ неравенство принимает вид:

$дробь: числитель: минус 2 t в квадрате плюс 3 t плюс 2, знаменатель: 64 минус t в кубе конец дроби меньше или равно 0$

или

$дробь: числитель: левая круглая скобка 2 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2 t правая круглая скобка , знаменатель: 4 минус t конец дроби меньше или равно 0,$

то есть $t принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2; 4 правая круглая скобка .$ Находим значения x. При $t \leqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ получаем:

$0 меньше x в квадрате меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби$

или

$x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0 ; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби правая квадратная скобка .$

При $2 меньше или равно t меньше 4$ получаем:

$9 меньше или равно x в квадрате меньше 81$

или

$x принадлежит левая круглая скобка минус 9; минус 3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; 9 правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка минус 9; минус 3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0 ; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; 9 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Левая часть приведена к алгебраической функции относительно одного логарифма  — + 2 балла.

Решено полученное алгебраическое неравенство  — + 1 балл.

Потеряны отрицательные решения  — не более 2 баллов за задачу.

В ответ включён x  =  0  — снять 1 балл.

Аналоги к заданию № 1645: 1658 Все

Олимпиада: Олимпиада школьников Физтех

Класс: 11

Тур: 2 тур (заключительный)

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Неравенства логарифмические, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь