РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1720 Добавить в вариант

Числа p и q подобраны так, что парабола y  =  px − x² пересекает гиперболу xy  =  q в трех различных точках A, B и C, причем сумма квадратов сторон треугольника ABC равна 324, а точка пересечения его медиан находится на расстоянии 2 от начала координат. Найдите произведение pq.

Спрятать решение

Решение.

Система $y=p x минус x в квадрате ,$ $x y=q$ сводится к кубическому уравнению $x в кубе минус p x в квадрате плюс q=0,$ имеющему, по условию задачи, три различных корня x₁, x₂, x₃, так как у любых двух разных точек кривой $y=p x минус x в квадрате$ абсциссы различны. По теореме Виета,

$x_1 плюс x_2 плюс x_3=p,$ $\quad x_1 x_2 плюс x_1 x_3 плюс x_2 x_3=0,$ $\quad x_1 x_2 x_3= минус q .$

Обозначим $A левая круглая скобка x_1; y_1 правая круглая скобка ,$ $B левая круглая скобка x_2; y_2 правая круглая скобка ,$ $C левая круглая скобка x_3; y_3 правая круглая скобка .$ Заметим, что если хотя бы одно из чисел x₁, x₂ или x₃ равно 0, то $q=0,$ и у кубического уравнения будет лишь два корня, что противоречит условию задачи. Тогда, в силу системы,

$y_1= дробь: числитель: q, знаменатель: x_1 конец дроби , \quad y_2= дробь: числитель: q, знаменатель: x_2 конец дроби , \quad y_3= дробь: числитель: q, знаменатель: x_3 конец дроби ,$

откуда

$y_1 плюс y_2 плюс y_3=q дробь: числитель: x_1 x_2 плюс x_1 x_3 плюс x_2 x_3, знаменатель: x_1 x_2 x_3 конец дроби =0 ;$

$y_1 y_2 плюс y_2 y_3 плюс y_1 y_3=q в квадрате дробь: числитель: x_1 плюс x_2 плюс x_3, знаменатель: x_1 x_2 x_3 конец дроби = минус p q.$

Точка M пересечения медиан треугольника ABC имеет координаты

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка x_1 плюс x_2 плюс x_3; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка y_1 плюс y_2 плюс y_3 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

С учетом теоремы Виета имеем $M левая круглая скобка дробь: числитель: p, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая круглая скобка .$ Теперь вычислим сумму квадратов длин сторон треугольника ABC. Она равна

$левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка x_2 минус x_3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка x_3 минус x_1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y_1 минус y_2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y_2 минус y_3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y_3 минус y_1 правая круглая скобка в квадрате =$
$=2 левая круглая скобка x_1 плюс x_2 плюс x_3 правая круглая скобка в квадрате минус 6 левая круглая скобка x_1 x_2 плюс x_2 x_3 плюс x_1 x_3 правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка y_1 плюс y_2 плюс y_3 правая круглая скобка в квадрате минус 6 левая круглая скобка y_1 y_2 плюс y_2 y_3 плюс y_1 y_3 правая круглая скобка =2 p в квадрате плюс 6 p q .$ $левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка x_2 минус x_3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка x_3 минус x_1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y_1 минус y_2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y_2 минус y_3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y_3 минус y_1 правая круглая скобка в квадрате =$
$=2 левая круглая скобка x_1 плюс x_2 плюс x_3 правая круглая скобка в квадрате минус 6 левая круглая скобка x_1 x_2 плюс x_2 x_3 плюс x_1 x_3 правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка y_1 плюс y_2 плюс y_3 правая круглая скобка в квадрате минус 6 левая круглая скобка y_1 y_2 плюс y_2 y_3 плюс y_1 y_3 правая круглая скобка =$
$=2 p в квадрате плюс 6 p q .$

Исходя из условия задачи, $\left| дробь: числитель: p, знаменатель: 3 конец дроби |=2,$ $2 p в квадрате плюс 6 p q=324,$ откуда находим две пары: $левая круглая скобка p; q правая круглая скобка = левая круглая скобка 6; 7 правая круглая скобка$ или $левая круглая скобка p; q правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 6; минус 7 правая круглая скобка .$ В обоих случаях $p q=42 .$

Ответ: 42.

Аналоги к заданию № 1720: 1721 Все

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный) 2 этап, 2019 год

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...), Методы алгебры. Использование геометрических интерпретаций, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь