Дан параллелограмм ABCD. Описанная окружность ω треугольника ABC второй раз пересекает сторону AD и продолжение стороны DC в точках P и Q соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника PDQ лежит на ω.
Трапеции ABCP и ACQD вписаны в окружность ω, значит, они являются равнобочными и, в частности, у них равны диагонали. Тогда 
и точка B лежит на серединном перпендикуляре к PQ. Обозначим точку его пересечения с окружностью ω через О. Тогда точки B и O диаметрально противоположны и, значит, 
В силу равнобочности трапеции ABCP и равенства противоположных сторон параллелограмма ABCD, имеем 
Поэтому C лежит на серединном перпендикуляре к PD. Но CO перпендикулярно BC, а, значит, и AD. Следовательно, O также лежит на серединном перпендикуляре к PD. Итак, точка O лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам PQ