сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сюжет 3

Миша взял про­стое число p > 2 и вот-вот вы­пи­шет на доску в ряд числа

a в сте­пе­ни 1 плюс b в сте­пе­ни 1 , \quad a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те , \quad \ldots, \quad a в сте­пе­ни p в сте­пе­ни м инус в сте­пе­ни 1 плюс b в сте­пе­ни p в сте­пе­ни м инус в сте­пе­ни 1 .

Затем он хочет отыс­кать среди них пару чисел, да­ю­щих оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на p.

3.2 Пусть a  =  4, b  =  3. До­ка­жи­те, что будет ис­ко­мая пара, со­дер­жа­щая одно из край­них чисел.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Если p=3, то всё ясно. Если 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 1 левая круг­лая скоб­ка \bmod p пра­вая круг­лая скоб­ка , то по Малой Тео­ре­ме Ферма

 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: p минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: p минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: p минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 1 плюс 1 \equiv 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Иначе же 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv минус 1 . На­при­мер, по­то­му что из МТФ 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 1, зна­чит,

 левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: p минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: p минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \vdots p .

Тогда

 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: p минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: p минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 16 минус 9 \equiv 7=4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

1

3.1 Пусть p  =  7. При­ве­ди­те при­мер таких  a, b \not \vdots7,  при ко­то­рых ис­ко­мой пары не будет.