РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1958 Добавить в вариант

Целые числа a, b и c удовлетворяют равенству

$левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка b минус 12 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка c минус 13 правая круглая скобка в квадрате = a в квадрате плюс b в квадрате минус c в квадрате .$

Докажите, что обе части равенства являются точными квадратами.

Спрятать решение

Решение.

Раскрыв скобки в условии, получим, что $10 a плюс 24 b минус 26 c=0.$ Тогда

$13 в квадрате левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате минус c в квадрате правая круглая скобка = левая круглая скобка 13 a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 13 b правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 5 a плюс 12 b правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 12 a минус 5 b правая круглая скобка в квадрате .$

Следовательно, $12 a минус 5 b$ делится на 13, то есть $12 a минус 5 b=13 k$ для некоторого целого k и

$a в квадрате плюс b в квадрате минус c в квадрате = дробь: числитель: левая круглая скобка 12 a минус 5 b правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 13 в квадрате конец дроби =k в квадрате .$

Аналоги к заданию № 1930: 1958 Все

Олимпиада СПБГУ, 8, 9, 6, 7 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь