РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 1967 Добавить в вариант

Сюжет 3

Миша взял простое число p > 2 и вот-вот выпишет на доску в ряд числа

$a в степени 1 плюс b в степени 1 , \quad a в квадрате плюс b в квадрате , \quad \ldots, \quad a в степени p в степени м инус в степени 1 плюс b в степени p в степени м инус в степени 1 .$

Затем он хочет отыскать среди них пару чисел, дающих одинаковые остатки от деления на p.

3.3 Докажите, что у него получится, если a  =  4, b  =  7.

Спрятать решение

Решение.

Случаи $p меньше или равно 7$ разбираются руками.

1)  Когда $7 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \equiv 1 левая круглая скобка \bmod p правая круглая скобка ,$ этот случай делается точно так же, как в 3.2;

2)  Когда $7 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \equiv минус 1 левая круглая скобка \bmod p правая круглая скобка .$ Тогда

$4 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: p минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 7 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: p минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \equiv 0 левая круглая скобка \bmod p правая круглая скобка ,$

значит, если все $p минус 1$ остатков различны, их сумма не равна 0. Но с другой стороны, суммируя две геометрические прогрессии, получаем

$дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка p правая круглая скобка минус 4, знаменатель: 4 минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 7 в степени левая круглая скобка p правая круглая скобка минус 7, знаменатель: 7 минус 1 конец дроби .$

Это выражение равно 0 по МТФ.

Олимпиада Юношеской математической школы, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости

Спрятать решение · Помощь

Тип 21 № 1880 Добавить в вариант

3.1 Пусть p  =  7. Приведите пример таких $a, b \not \vdots7,$   при которых искомой пары не будет.

Решение · Помощь