сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сюжет 3

Миша взял про­стое число p > 2 и вот-вот вы­пи­шет на доску в ряд числа

a в сте­пе­ни 1 плюс b в сте­пе­ни 1 , \quad a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те , \quad \ldots, \quad a в сте­пе­ни p в сте­пе­ни м инус в сте­пе­ни 1 плюс b в сте­пе­ни p в сте­пе­ни м инус в сте­пе­ни 1 .

Затем он хочет отыс­кать среди них пару чисел, да­ю­щих оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на p.

3.3 До­ка­жи­те, что у него по­лу­чит­ся, если a  =  4, b  =  7.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Слу­чаи p мень­ше или равно 7 раз­би­ра­ют­ся ру­ка­ми.

1)  Когда 7 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 1 левая круг­лая скоб­ка \bmod p пра­вая круг­лая скоб­ка , этот слу­чай де­ла­ет­ся точно так же, как в 3.2;

 

2)  Когда 7 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv минус 1 левая круг­лая скоб­ка \bmod p пра­вая круг­лая скоб­ка . Тогда

4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: p минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 7 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: p минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 0 левая круг­лая скоб­ка \bmod p пра­вая круг­лая скоб­ка ,

зна­чит, если все p минус 1 остат­ков раз­лич­ны, их сумма не равна 0. Но с дру­гой сто­ро­ны, сум­ми­руя две гео­мет­ри­че­ские про­грес­сии, по­лу­ча­ем

 дробь: чис­ли­тель: 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка p пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4, зна­ме­на­тель: 4 минус 1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 7 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка p пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7, зна­ме­на­тель: 7 минус 1 конец дроби .

Это вы­ра­же­ние равно 0 по МТФ.

1

3.1 Пусть p  =  7. При­ве­ди­те при­мер таких  a, b \not \vdots7,  при ко­то­рых ис­ко­мой пары не будет.