сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сюжет 1

На n кар­точ­ках на­пи­са­ли по k чисел, сумма на каж­дой кар­точ­ке равна m. Ока­за­лось, что любой набор из k не­от­ри­ца­тель­ных чисел с сум­мой 1 можно по­лу­чить, умень­шив не­ко­то­рые числа на одной из кар­то­чек (на­бо­ры не­упо­ря­до­чен­ные). Пусть a(n, k)  — наи­мень­шее m, при ко­то­ром это воз­мож­но.

1.1 Най­ди­те a (2, 2).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При­мер: на­бо­ры  левая круг­лая скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Оцен­ка. Ясно, что дол­жен быть набор, со­дер­жа­щий 1, чтобы ма­жо­ри­ро­вать (1; 0), и набор, в ко­то­ром оба числа боль­ше  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , чтобы ма­жо­ри­ро­вать  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Если это одна и та же пара, то сумма уже  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Если раз­ные, то по­смот­рим на набор  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка : чтобы набор  левая круг­лая скоб­ка 1; x пра­вая круг­лая скоб­ка ма­жо­ри­ро­вал его, долж­но быть x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , а чтобы набор с парой чисел, боль­ших  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ма­жо­ри­ро­вал  — это дол­жен быть набор, как ми­ни­мум  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Легко ви­деть также, что ука­зан­ный набор под­хо­дит.

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

1

1.2 До­ка­жи­те, что най­дет­ся n такое, что a левая круг­лая скоб­ка n, 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 плюс 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 100 пра­вая круг­лая скоб­ка .