сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сюжет 1

На n кар­точ­ках на­пи­са­ли по k чисел, сумма на каж­дой кар­точ­ке равна m. Ока­за­лось, что любой набор из k не­от­ри­ца­тель­ных чисел с сум­мой 1 можно по­лу­чить, умень­шив не­ко­то­рые числа на одной из кар­то­чек (на­бо­ры не­упо­ря­до­чен­ные). Пусть a(n, k)  — наи­мень­шее m, при ко­то­ром это воз­мож­но.

1.2 До­ка­жи­те, что най­дет­ся n такое, что a левая круг­лая скоб­ка n, 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 плюс 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 100 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим все воз­мож­ные спо­со­бы за­пи­сать число 1 плюс 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 100 пра­вая круг­лая скоб­ка в виде суммы по­ло­жи­тель­ных ра­ци­о­наль­ных дро­бей со зна­ме­на­те­лем 10200 (не обя­за­тель­но не­со­кра­ти­мых). Оче­вид­но, что это ко­ли­че­ство ко­неч­но, его и обо­зна­чим за n  — за­пи­сав все со­от­вет­ству­ю­щие на­бо­ры на кар­точ­ки, убе­дим­ся, что такой набор кар­то­чек под­хо­дит. Дей­стви­тель­но, рас­смот­рим любой набор с еди­нич­ной сум­мой. За­ме­ним в нём каж­дое число на бли­жай­шую свер­ху дробь со зна­ме­на­те­лем 10200. При таком округ­ле­нии сумма уве­ли­чит­ся не более, чем на

10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 200 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби ,

зна­чит, по­лу­чит­ся один из наших на­бо­ров или ана­ло­гич­ный набор с мень­шей сум­мой. Про­из­воль­но уве­ли­чив чис­ли­те­ли не­ко­то­рых дро­бей так, чтобы сумма стала рав­ной 1 плюс 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 100 пра­вая круг­лая скоб­ка , мы пре­вра­тим набор в числа на одной из кар­то­чек, ко­то­рая, таким об­ра­зом, ма­жо­ри­ру­ет ис­ход­ный набор с еди­нич­ной сум­мой.

1