Будем пред­став­лять, что внут­ри со­су­ды раз­де­ле­ны на ячей­ки и в каж­дой лежит по шару. Тогда мы можем пред­став­лять, что (не­за­ви­си­мо от на­хож­де­ния в одном со­су­де или в раз­ных) шары i и j про­сто ме­ня­ют­ся ячей­ка­ми по ко­ман­де (ij). Таким об­ра­зом, любая по­сле­до­ва­тель­ность ко­манд осу­ществ­ля­ет про­сто фик­си­ро­ван­ную пе­ре­ста­нов­ку шаров в ячей­ках. (От­ме­тим, что транс­по­зи­ции поз­во­ля­ют сде­лать любую пе­ре­ста­нов­ку). Сде­ла­ем пе­ре­ста­нов­ку типа «куча цик­лов по 3 и один по 5», тогда в каж­дом цикле 3 ми­ни­мум двое по­ме­ня­ют при­над­леж­ность, в цикле длины 5  — ми­ни­мум трое. Итого 533. Боль­ше га­ран­ти­ро­вать никак нель­зя  — в цикле длины k мы можем га­ран­ти­ро­вать мак­си­мум

смен при­над­леж­но­стей (цикл может со­сто­ять как раз из пар шаров-со­се­дей (сто­я­щих рядом на цикле) +, воз­мож­но, один не­пар­ный шар), а две трети от 800 мень­ше 534.

Ответ: 533.