сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сюжет 2

Окруж­ность \omega с цен­тром в точке I впи­са­на в тре­уголь­ник ABC и ка­са­ет­ся его сто­рон AB и AC в точ­ках D и E со­от­вет­ствен­но. Бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка ADE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке J. От­рез­ки BJ и CJ пе­ре­се­ка­ют от­ре­зок DE в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но.

2.2 Из­вест­но, что IJ  =  DE. Най­ди­те угол BAC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Можно обо­зна­чить через X пе­ре­се­че­ние от­рез­ков DE и IJ и рас­пи­сать в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ADI длины I J=I X плюс X J через D X= дробь: чис­ли­тель: D E, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и \varphi=\angle B A C . Тогда,

 тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: \varphi, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: \varphi, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =2,

от­ку­да вы­чис­ле­ни­ем по­лу­ча­ем, что  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: \varphi, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Нор­маль­ное ре­ше­ние го­во­рит, что бис­сек­три­сы углов ADE и AED пе­ре­се­ка­ют окруж­ность ω в се­ре­ди­не дуги DE. То есть J лежит на \omega, I J=I E=I D (кста­ти, под­счет углов тоже дает, что, на­при­мер, тре­уголь­ник IDJ рав­но­бед­рен­ный). В усло­ви­ях этого пунк­та тре­уголь­ник IDE пра­виль­ный, от­сю­да

\angle D A E= Пи минус \angle D I E= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

1