сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сюжет 1

Пусть I — центр впи­сан­ной окруж­но­сти \omega тре­уголь­ни­ка ABC. Опи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка AIC пе­ре­се­ка­ет \omega в точ­ках P и Q (так, что P и A лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой BI, а Q и C — по дру­гую).

1.1 До­ка­жи­те, что если PQ па­рал­лель­на AC, то тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть PQ  — общая хорда впи­сан­ной окруж­но­сти и окруж­но­сти AIC, по­это­му она пер­пен­ди­ку­ляр­на IZ, где Z  — центр окруж­но­сти AIC. Зна­чит, IZ пер­пен­ди­ку­ляр­на AC. Так как Z A=A C, то по­лу­ча­ем, что I лежит на сер­пе­ре к AC. От­сю­да сле­ду­ет рав­но­бед­рен­ность.

1

1.2 Дан тре­уголь­ник DEF. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через вер­ши­ны E и F пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны DE и DF в точ­ках X и Y со­от­вет­ствен­но. Бис­сек­три­са угла \angle DEY пе­ре­се­ка­ет DF в точке Y', а бис­сек­три­са угла \angle DFX пе­ре­се­ка­ет DE в точке X'. До­ка­жи­те, что XY и X'Y' па­рал­лель­ны.