сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сюжет 1

Пусть I — центр впи­сан­ной окруж­но­сти \omega тре­уголь­ни­ка ABC. Опи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка AIC пе­ре­се­ка­ет \omega в точ­ках P и Q (так, что P и A лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой BI, а Q и C — по дру­гую).

1.2 Дан тре­уголь­ник DEF. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через вер­ши­ны E и F пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны DE и DF в точ­ках X и Y со­от­вет­ствен­но. Бис­сек­три­са угла \angle DEY пе­ре­се­ка­ет DF в точке Y', а бис­сек­три­са угла \angle DFX пе­ре­се­ка­ет DE в точке X'. До­ка­жи­те, что XY и X'Y' па­рал­лель­ны.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ис­ко­мая па­рал­лель­ность рав­но­силь­на ра­вен­ству  дробь: чис­ли­тель: D X в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: X в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X конец дроби = дробь: чис­ли­тель: D Y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: Y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка Y конец дроби (тео­ре­ма Фа­ле­са). По свой­ству бис­сек­три­сы,

 дробь: чис­ли­тель: D X в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: X в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X конец дроби = дробь: чис­ли­тель: D F, зна­ме­на­тель: F X конец дроби

и
 дробь: чис­ли­тель: D Y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: Y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка Y конец дроби = дробь: чис­ли­тель: D E, зна­ме­на­тель: E Y конец дроби .

Но тре­уголь­ни­ки DEY и DFX по­доб­ны по трём углам (один общий и рав­ные впи­сан­ные), по­это­му со­от­вет­ству­ю­щие от­но­ше­ния равны.
1

1.1 До­ка­жи­те, что если PQ па­рал­лель­на AC, то тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.