сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA_1B_1C_1D_1 плос­ко­стью, ко­то­рая про­хо­дит через диа­го­наль AC_1, па­рал­лель­на диа­го­на­ли ос­но­ва­ния BD, на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30° и об­ра­зу­ет с диа­го­на­лью A_1C угол 45°, если диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна d.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вве­дем обо­зна­че­ние AC1= d =2R (так как на се­ре­ди­не диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да рас­по­ло­жен центр сферы, опи­сан­ной около па­рал­ле­ле­пи­пе­да).

Если P и Q  — се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер DD1 и BB1, то пря­мая PQ па­рал­лель­на BD и PQ=BD=AC.

Про­ве­дем пря­мую (MN) па­рал­лель­ную BD, A при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка M N пра­вая круг­лая скоб­ка ; CK пер­пен­ди­ку­ляр­ную (MN), CF пер­пен­ди­ку­ляр­ную KC1. Тогда \angle C K C_1= бета   — за­дан­ный в усло­ви­ях угол между се­ку­щей плос­ко­стью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. Так как вы­со­та CF пер­пен­ди­ку­ляр­на (AKC1), то \angle C O F= гамма   — за­дан­ный в усло­ви­ях угол между диа­го­на­лью CA1 и плос­ко­стью се­че­ния PAQC1. Так как O C=R, то

C F=R синус гамма , \quad C K= дробь: чис­ли­тель: C F, зна­ме­на­тель: синус бета конец дроби = дробь: чис­ли­тель: R синус гамма , зна­ме­на­тель: синус бета конец дроби ,

C C_1= дробь: чис­ли­тель: C F, зна­ме­на­тель: ко­си­нус бета конец дроби = дробь: чис­ли­тель: R синус гамма , зна­ме­на­тель: ко­си­нус бета конец дроби , \quad K C_1= дробь: чис­ли­тель: C K, зна­ме­на­тель: ко­си­нус бета конец дроби = дробь: чис­ли­тель: R синус гамма , зна­ме­на­тель: синус бета ко­си­нус бета конец дроби .

По­сколь­ку

P Q=B D=A C= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: A C_1 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус C C_1 в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: ко­си­нус бета конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та бета минус синус в квад­ра­те гамма пра­вая круг­лая скоб­ка ,

а пря­мая KC1 пер­пен­ди­ку­ляр­на AK, то пло­щадь се­че­ния PAQC1 равна

S_P A Q C_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби K C_1 умно­жить на P Q= дробь: чис­ли­тель: R в квад­ра­те синус гамма , зна­ме­на­тель: 2 синус бета ко­си­нус в квад­ра­те бета конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та бета минус синус в квад­ра­те гамма пра­вая круг­лая скоб­ка

или

S_P A Q C_1= дробь: чис­ли­тель: d в квад­ра­те синус гамма , зна­ме­на­тель: 8 синус бета ко­си­нус в квад­ра­те бета конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та бета минус синус в квад­ра­те гамма пра­вая круг­лая скоб­ка .

При бета =30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка и гамма =45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­ча­ем

S= дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 умно­жить на 3 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та умно­жить на R в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та d в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та d в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .


Аналоги к заданию № 7239: 2378 Все

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024