Сюжет 1
Натуральные числа раскрашены в несколько (возможно, бесконечно много) цветов. Будем называть раскраску чисел очаровательной, если для любых натуральных чисел a и b среди чисел a, b и a+b встречается ровно одна одноцветная пара.
Натуральные числа покрасили очаровательно.
1.1 Докажите, что среди четырех последовательных чисел обязательно найдутся два одноцветных.
Пусть числа 1, 3 и 9 трёх цветов A, B и C соответственно.
Среди чисел 1, 2 и 3 есть два одноцветных, значит, 2 цвета A или B. Однако 
поэтому 1 и 2 разного цвета. Следовательно, 2 цвета B.
Среди чисел 1, 3 и 4 есть два одноцветных, значит, 4 тоже цвета A или B. Однако 
поэтому 2 и 4 разного цвета. Следовательно, 4 цвета A.
Тогда 
значит, 5 цвета A или C, однако 
значит, 5 не цвета A. Следовательно, 5 цвета C.
Тогда 
значит, 6 цвета A или C, а 
значит, 6 цвета A или B. Таким образом, 6 цвета A.
Итого, 3, 6 и 9 имеют цвета B, A и C соответственно. Противоречие.
—
—
— в цвет 