сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сюжет 1

На­ту­раль­ные числа рас­кра­ше­ны в не­сколь­ко (воз­мож­но, бес­ко­неч­но много) цве­тов. Будем на­зы­вать рас­крас­ку чисел оча­ро­ва­тель­ной, если для любых на­ту­раль­ных чисел a и b среди чисел a, b и a+b встре­ча­ет­ся ровно одна од­но­цвет­ная пара.

На­ту­раль­ные числа по­кра­си­ли оча­ро­ва­тель­но.

1.1 До­ка­жи­те, что среди че­ты­рех по­сле­до­ва­тель­ных чисел обя­за­тель­но най­дут­ся два од­но­цвет­ных.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть числа 1, 3 и 9 трёх цве­тов A, B и C со­от­вет­ствен­но.

Среди чисел 1, 2 и 3 есть два од­но­цвет­ных, зна­чит, 2 цвета A или B. Од­на­ко 1 плюс 1=2, по­это­му 1 и 2 раз­но­го цвета. Сле­до­ва­тель­но, 2 цвета B.

Среди чисел 1, 3 и 4 есть два од­но­цвет­ных, зна­чит, 4 тоже цвета A или B. Од­на­ко 2 плюс 2=4, по­это­му 2 и 4 раз­но­го цвета. Сле­до­ва­тель­но, 4 цвета A.

Тогда 4 плюс 5=9, зна­чит, 5 цвета A или C, од­на­ко 1 плюс 4=5, зна­чит, 5 не цвета A. Сле­до­ва­тель­но, 5 цвета C.

Тогда 1 плюс 5=6, зна­чит, 6 цвета A или C, а 2 плюс 4=6, зна­чит, 6 цвета A или B. Таким об­ра­зом, 6 цвета A.

Итого, 3, 6 и 9 имеют цвета B, A и C со­от­вет­ствен­но. Про­ти­во­ре­чие.

1

1.3 При­ве­ди­те при­мер оча­ро­ва­тель­ной рас­крас­ки, в ко­то­рой среди чисел 6, 10 и 15 нет од­но­цвет­ных.