сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сюжет 1

На­ту­раль­ные числа рас­кра­ше­ны в не­сколь­ко (воз­мож­но, бес­ко­неч­но много) цве­тов. Будем на­зы­вать рас­крас­ку чисел оча­ро­ва­тель­ной, если для любых на­ту­раль­ных чисел a и b среди чисел a, b и a+b встре­ча­ет­ся ровно одна од­но­цвет­ная пара.

На­ту­раль­ные числа по­кра­си­ли оча­ро­ва­тель­но.

1.3 При­ве­ди­те при­мер оча­ро­ва­тель­ной рас­крас­ки, в ко­то­рой среди чисел 6, 10 и 15 нет од­но­цвет­ных.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

На­при­мер, так: не­чет­ные числа  — цвет 1, числа вида 10 k плюс 2, 10 k плюс 8  — цвет 2, 10 k плюс 4, 10 k плюс 6  — цвет 3, числа вида 5 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 y плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка   — в цвет k плюс 3.

1

1.1 До­ка­жи­те, что среди че­ты­рех по­сле­до­ва­тель­ных чисел обя­за­тель­но най­дут­ся два од­но­цвет­ных.