Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Сюжет 2
Во всех задачах O обозначает центр вписанной окружности треугольника ABC, а I — центр его вписанной окружности.
2.1 Рассмотрим остроугольный треугольник ABC и его ортоцентр H. Оказалось, что точки B, O, H и C лежат на одной окружности. Докажите, что точка I лежит на той же окружности.
Решение.
Заметим, что выполняются равенства 
а так же, по условию, 
Следовательно, 
то есть, 
При этом
?
Олимпиада Юношеской математической школы, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 годКлассификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур
Из этого следует, что XY — общая ось симметрии двух равнобедренных треугольников, т. е., действительно, серпер AI. Вместо трилистника можно, разумеется, воспользоваться более школьными соображениями (впрочем, его несложно и вывести случайно).
По неравенству треугольника 
Осталось доказать, что 
Проделываем какие-то рассуждения (см. выше) и понимаем, что 