сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сюжет 2

Во всех за­да­чах O обо­зна­ча­ет центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, а I — центр его впи­сан­ной окруж­но­сти.

2.1 Рас­смот­рим ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник ABC и его ор­то­центр H. Ока­за­лось, что точки B, O, H и C лежат на одной окруж­но­сти. До­ка­жи­те, что точка I лежит на той же окруж­но­сти.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что вы­пол­ня­ют­ся ра­вен­ства \angle B O C=2 \angle A, \angle B H C=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle A, а так же, по усло­вию, \angle B O C=\angle B H C . Сле­до­ва­тель­но, 2 \angle A=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle A, то есть, \angle A=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . При этом

\angle B I C= дробь: чис­ли­тель: \angle A, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle B O C.

1

2.2 На опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­ти­ли точки X и Y  — се­ре­ди­ны дуг AC и AB со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок XY и сто­ро­на тре­уголь­ни­ка AC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Z. До­ка­жи­те, что |IZ| боль­ше дробь: чис­ли­тель: |AC| – |IC|, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .