сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сюжет 2

Во всех за­да­чах O обо­зна­ча­ет центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, а I — центр его впи­сан­ной окруж­но­сти.

2.2 На опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­ти­ли точки X и Y  — се­ре­ди­ны дуг AC и AB со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок XY и сто­ро­на тре­уголь­ни­ка AC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Z. До­ка­жи­те, что |IZ| боль­ше дробь: чис­ли­тель: |AC| – |IC|, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ос­нов­ная цель этой за­да­чи  — по­нять, что XY яв­ля­ет­ся сер­пе­ром к AI.

На­при­мер так: за­ме­тим, что X и Y  — это пе­ре­се­че­ния пря­мых BI и CI с опи­сан­ной окруж­но­стью ABC, где I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти ABC. Тогда по лемме о три­лист­ни­ке (тре­зуб­це), I Y=Y A, I X=X A. Из этого сле­ду­ет, что XY  — общая ось сим­мет­рии двух рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков, т. е., дей­стви­тель­но, сер­пер AI. Вме­сто три­лист­ни­ка можно, ра­зу­ме­ет­ся, вос­поль­зо­вать­ся более школь­ны­ми со­об­ра­же­ни­я­ми (впро­чем, его не­слож­но и вы­ве­сти слу­чай­но).

Есте­ствен­ный ход ре­ше­ния: нужно до­ка­зать, что 2|I Z| плюс |I C| боль­ше |A C| . По не­ра­вен­ству тре­уголь­ни­ка |I Z| плюс |I C| мень­ше |C Z| . Оста­лось до­ка­зать, что |I Z| \geqslant|Z A| . Про­де­лы­ва­ем какие-то рас­суж­де­ния (см. выше) и по­ни­ма­ем, что |I Z|=|Z A|.

1

2.1 Рас­смот­рим ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник ABC и его ор­то­центр H. Ока­за­лось, что точки B, O, H и C лежат на одной окруж­но­сти. До­ка­жи­те, что точка I лежит на той же окруж­но­сти.