Сюжет 2
Во всех задачах O обозначает центр вписанной окружности треугольника ABC, а I — центр его вписанной окружности.
2.3 Дан неравнобедренный треугольник ABC с углом Докажите, что точка пересечения прямых OI и BC равноудалена от точек A и I.
Переформулируем условие: нужно доказать, что серпер к AI, прямая BC и прямая OI пересекаются в одной точке. С
Мы уже знаем, что четырёхугольник BIOC — вписанный, а точки пересечения серпера к AI с описанной окружностью треугольника — это точки пересечения прямых BI и CI с описанной окружностью. Обозначим эти точки за X и Y соответственно. Заметим, что тогда четырёхугольник XYOI тоже вписанный вертикальный уже посчитанному, т. к. стягивает две половинки дуг в сумме равных 240). Тогда серпер к AI — радикальная ось описанных окружностей XYOI и ABC, BC радикальная ось описанных окружностей ABC и BIOC, OI — радикальная ось описанных окружностей XYOI и BIOC. Как известно, они действительно пересекаются в одной точке.