РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2867 Добавить в вариант

Решите уравнение

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходное выражение:

$дробь: числитель: 4 синус x косинус в квадрате x минус 2 синус x плюс 2 синус в квадрате x минус 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: синус x минус косинус x конец аргумента конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: 4 синус x косинус в квадрате x минус 2 синус x минус косинус 2 x, знаменатель: корень из: начало аргумента: синус x минус косинус x конец аргумента конец дроби =0.$ $дробь: числитель: 4 синус x косинус в квадрате x минус 2 синус x плюс 2 синус в квадрате x минус 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: синус x минус косинус x конец аргумента конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 4 синус x косинус в квадрате x минус 2 синус x минус косинус 2 x, знаменатель: корень из: начало аргумента: синус x минус косинус x конец аргумента конец дроби =0.$

При условии $синус x минус косинус x больше 0$ находим корни уравнения

$4 синус x косинус в квадрате x минус 2 синус x минус косинус 2 x=0 равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка минус косинус 2 x=0 равносильно 2 синус x косинус 2 x минус косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка косинус 2 x=0 равносильно совокупность выражений 2 синус x минус 1=0, косинус 2 x=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности . n принадлежит Z .$ $4 синус x косинус в квадрате x минус 2 синус x минус косинус 2 x=0 равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка минус косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус 2 x минус косинус 2 x=0 равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 синус x минус 1=0, косинус 2 x=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности . n принадлежит Z .$ $4 синус x косинус в квадрате x минус 2 синус x минус косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка минус косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус 2 x минус косинус 2 x=0 равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 синус x минус 1=0, косинус 2 x=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности . n принадлежит Z .$ $4 синус x косинус в квадрате x минус 2 синус x минус косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка минус косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус 2 x минус косинус 2 x=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка косинус 2 x=0 равносильно совокупность выражений 2 синус x минус 1=0, косинус 2 x=0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности . n принадлежит Z .$

С учетом условия $синус x минус косинус x больше 0$ окончательно имеем $x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n$ и $x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,$ где $n принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n : n принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Аналоги к заданию № 2867: 2928 Все

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрия + иррациональности, Методы тригонометрии. Формулы двойных углов

Спрятать решение · Помощь