РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3286 Добавить в вариант

Найдите множество значений функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x минус 2 синус x правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Найдем множество значений функции

$z=g левая круглая скобка x правая круглая скобка = косинус 2 x минус 2 синус x.$

Функция g(x) определена на всей числовой оси. Сделаем замену переменного. Пусть $t= синус x.$ Тогда

$z= левая круглая скобка 1 минус 2 t в квадрате правая круглая скобка минус 2 t=1 минус 2 левая круглая скобка t в квадрате плюс t правая круглая скобка =1,5 минус 2 левая круглая скобка t минус 0,5 правая круглая скобка в квадрате$

при $t принадлежит левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка ,$ и $E_g= левая квадратная скобка минус 3; 1,5 правая квадратная скобка .$ Функция $u= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 9 конец дроби z$ принимает все значения из промежутка $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .$ Множество значений функции f(x) совпадает с множеством значений функции $y= косинус u,$ где $u принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .$ Следовательно, $E_f= левая квадратная скобка 0,5; 1 правая квадратная скобка .$

Ответ: $E_f= левая квадратная скобка 0,5; 1 правая квадратная скобка .$

Аналоги к заданию № 3267: 3286 Все

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Минимаксные задачи без производной, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь